Sabtu, 17 Desember 2011

identitas dan persamaan trigonometri

[Identitas Trigonometri]

Dari gambar di atas diperoleh :

Jadi :

[Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana]

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x

yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.

1. Menyelesaikan persamaan sin x = sin a
Dengan mengingat rumus

Maka diperoleh:

2. Menyelesaikan persamaan cos x = cos a

Dengan mengingat rumus :

Maka di peroleh :

3. Menyelesaikan persamaan tan x = tan a

Dengan mengingat rumus :

Maka di peroleh :

aturan sinus dan cosinus

Hukum cosinus

Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.
Perhatikan gambar segitiga di kanan.
Aturan kosinus menyatakan bahwa

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,$

dengan $\gamma\,$ adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut $\gamma\,$ .
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,$

Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:

$\cos \alpha\ = {b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc}$

$\cos \beta\ = {a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac}$

$\cos \gamma\ = {a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab}$

[sunting] Hukum Kosinus Pertama

$a = b \cos \gamma + c \cos \beta\,$

$b = c \cos \alpha + a \cos \gamma\,$

$c = a \cos \beta + b \cos \alpha\,$

[sunting] Hukum Kosinus Kedua

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,$

Hukum sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan

${\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,$

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

${a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = d.$

Dapat ditunjukkan bahwa:
$d = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4) }}$
di mana

s merupakan semi-perimeter

$s = \frac{(a+b+c)} {2}$

[sunting] Turunan

Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.
Dapat diamati bahwa:

$\sin A = \frac{h}{b}$ and $\; \sin B = \frac{h}{a}$

Kemudian:

$h = b\,\sin A = a\,\sin B$

dan

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}.$

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

barisan dan deret geometri

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^{^n-1}
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^{^n-1} ® fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(r^ⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-r^ⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
U_n> U_n-1
Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
U_n < U_n-1

Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga    S_{_¥} = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar²+ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M₀, M₁, M₂, ............., M_n
M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀
M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀
.
.
.
.
M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M_ⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M₀, M₁, M₂, .........., M_n
M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀
M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀.
.
.
Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀
Keterangan :
M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

barisan dan deret

Pola Bilangan

Jika anggota-anggota suatu himpunan diurutkan menurut suatu aturan tertentu maka akan membentuk suatu barisan bilangan. Perhatikan barisan bilangan berikut ini:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…

Urutan bilangan-bilangan tersebut adalah sebagai berikut:

urutan ke-1 adalah 1
urutan ke-2 adalah 2
urutan ke-3 adalah 3
urutan ke-4 adalah 5
urutan ke-5 adalah 13
urutan ke-6 adalah 21
urutan ke-7 adalah 34

Ternyata nomor urut bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan asli. Oleh karena itu barisan dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya adalah bilangan asli.

Anggota-anggota barisan bilangan disebut suku dan dinotasikan dengan U. Keterkaitan bilangan asli dengan anggota-anggota suatu barisan dapat digambarkan sebagai berikut :

Un = f(n) artinya bahwa suku-suku barisan bilangan merupakan fungsi dari bilangan asli.

Dengan demikian barisan bilangan dapat dinyatakan dengan : U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_n.

Barisan Bilangan

Diketahui suatu barisan bilangan : 1, 4, 9, 16, . Bagaimana pola barisan bilangan tersebut?

Nampak bahwa :

suku ke-1 = U₁ = 1
suku ke-2 = U₂ = 4
suku ke-3 = U₃ = 9
suku ke-4 = U₄ = 16

Jika digambarkan dengan diagram panah, maka diperoleh pola sebagai berikut :

Hubungan setiap anggota himpunan A ke anggota himpunan B dapat dideskripsikan sebagai kuadrat dari

Sehingga dapat dikatakan bahwa barisan tersebut mempunyai suku ke-n

Diketahui suatu barisan bilangan : 2, 5, 8, 11,. Bagaimana pola barisan bilangan tersebut?

Jika anggota-anggota barisan bilangan tersebut dihubungkan dengan angota domainnya (bilangan asli).

Notasi Sigma

Notasi sigma adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat. Notasi sigma, ditulis dengan

Secara umum, notasi sigma didefinisikan sebagai berikut :

Dimana:

i adalah indeks penjumlahan

n adalah batas bawah penjumlahan

n adalah batas atas penjumlahan

Sifat-sifat notasi sigma:

Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub

Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, α) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, α) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari hubungan:
$cos\alpha =\frac{x}{r}n \to x=rcos\alpha$
$sin\alpha =\frac{y}{r}n \to y=rsin\alpha$ jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, α) dapat dicari dengan hubungan:
$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$tan\alpha =\frac{y}{x}n \to \alpha =arctan\frac{y}{x}$ ,arc tan adalah invers dari tan

Kamis, 15 Desember 2011

konsep fungsi trigonometri

Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri?
mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….
dimana $f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ maka
Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

$f(x) = sin\:x$ maka $f'(x)= cos\:x$

$f(x) = cos\:x$ maka $f'(x)= - sin\:x$

$f(x) = a.sin\:(bx+c)$ maka $f'(x)= ab.cos\:(bx+c)$

$f(x) = a.cos\:(bx+c)$ maka $f'(x)= -ab.sin\:(bx+c)$

contoh:
$1.\:f(x)= 3cos\:x$ maka $f'(x)=-3sin\:x$
$2.\:f(x)=2sin\:5x$ maka $f'(x)=10cos\:5x$
$3.\:f(x)=4.cos(3x+\pi)$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & {-4}.3.sin(3x+\pi)\\ & = & {-12}.sin(3x+\pi)\end{array}$

Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….

$1.\:f(x)=sec\:x$ tentukan f ‘(x) ! jawab

$\begin{array}{rcl}f(x) & = & sec\:x\\ & = & \frac{1}{cos\:x}\end{array}$

$\begin{array}{lcl}u=1 & maka & u'=0\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{align*}f'(x) & = & \frac{u'.v-v'.u}{v^2}\\ & = & \frac{0.cos\:x-(-sin\:x).1}{(cos\:x)^2}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos^2\:x}\\ & = & \frac{sin\:x}{cos\:x}.\frac{1}{cos\:x}\\ & = & tan\:x.sec\:x\end{align*}$

$2.\:f(x)=(x^2+2).sin\:x$ tentukan f ‘(x)! jawab:

$\begin{array}{lcl}u=x^2+2& maka & u'=2x\\v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 2x.sin\:x+cos\:x.(x^2+2)\\ & = & 2x\:sin\:x+x^2.cos\:x+2\:cos\:x\end{array}$

Turunan ke-n
diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.
$1.\:f(x)=4x^2.cos\:x$ tentukan turunan kedua dari f(x)! jawab.

*kita cari turunan pertama dulu ya..

$\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.cos\:x+(-sin\:x).4x^2\\ & = & 8x.cos\:x-4x^2.sin\:x\end{array}$

*perhatikan untuk $f'(x)=8x.cos\:x-4x^2.sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f ‘(x) adalah a dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x) = a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku…

*ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan $a=8x.cos\:x$

$\begin{array}{lcl}u=8x & maka & u'=8\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8.cos\:x+(-sin\:x).8x\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x\end{array}$

*ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan $b=4x^2.sin\:x$

$\begin{array}{lcl}u=4x^2 & maka & u'=8x\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}b' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 8x.sin\:x+(cos\:x).4x^2\\ & = & 8x.sin\:x+4x^2.cos\:x\end{array}$

kembali ke $f''(x)=a'-b'$

$\begin{array}{rcl}f ''(x) & = & a'-b'\\ & = & (8.cos\:x-8x.sin\:x)-(8x.sin\:x+4x^2.cos\:x)\\ & = & 8.cos\:x-8x.sin\:x-8x.sin\:x-4x^2.cos\:x\\ & = & 8.cos\:x-16sin\:x-4x^2.cos\:x\end{array}$

$2.\:f(x)=x.cos\:x+sin\:x$ tentukan turunan ke-empat dari f(x) ! jawab:

$*f(x)=x.cos\:x+sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…

$a=x.cos\:x$

$\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=cos\:x & maka & v'=-sin\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}a' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.cos\:x+(-sin\:x).x\\ & = & cos\:x-x.sin\:x\end{array}$

$b=sin\:x$ maka $b'=cos\:x$

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & a'+b'\\ & = & (cos\:x-x.sin\:x)+(cos\:x)\\ & = & 2.cos\:x-x.sin\:x\end{array}$

$*f'(x)=2.cos\:x-x.sin\:x$ mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d ‘

$c=2.cos\:x$ maka $c'=-2.sin\:x$

$d=x.sin\:x$

$\begin{array}{lcl}u=x & maka & u'=1\\ v=sin\:x & maka & v'=cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}d' & = & u'.v+v'.u\\ & = & 1.sin\:x+cos\:x.x\\ & = & sin\:x+x.cos\:x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f''(x)& = & c'-d'\\ & = & (-2.sin\:x)-(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {-2}.sin\:x-sin\:x-x.cos\:x\\ & = & {-3}.sin\:x-x.cos\:x\end{array}$

$*f''(x)=-3.sin\:x-x.cos\:x$ mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $a=x.cos\:x$ maka $a'=cos\:x-x.sin\:x$

sehingga

$\begin{array}{rcl}f'''(x) & = & {-3}.cos\:x-(cos\:x-x.sin\:x)\\ & = & {-3}.cos\:x-cos\:x+x.sin\:x\\ & = & {-4}.cos\:x+x.sin\:x\end{array}$

$*f'''(x)={-4}.cos\:x+x.sin\:x$ mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas $d=x.sin\:x$ maka $d'=sin\:x+x.cos\:x$

sehingga

$\begin{array}{rcl}f''''(x) & = & {-4}.(-sin\:x)+(sin\:x+x.cos\:x)\\ & = & {4}.sin\:x+sin\:x+x.cos\:x\\ & = & {5}.sin\:x+x.cos\:x\end{array}$

begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..

3. Jika diketahui $y=sin\:x$ buktikan bahwa turunan ke-n yaitu $y^n=sin(x+\frac{\pi}{2}.n)$ !
jawab:

*ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran

$y=sin\:x$

$y'=cos\:x$	$=\:sin(\frac{\pi}{2}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.1)$
$y''=-sin\:x$	$=\:sin({\pi}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.2)$
$y'''=-cos\:x$	$=\:sin(\frac{3.\pi}{2}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.3)$
$y''''=sin\:x$	$=\:sin({2.\pi}+x)$	$=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.4)$
… … dst	… … dst	… … dst
sehingga	$y^n=\:sin(x+\frac{\pi}{2}.n)$