Kamis, 15 Desember 2011

Trigonometri

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales

Hubungan fungsi trigonometri

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,
\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin
 A}\,
\sec A = \frac{1}{\cos A}\,

Identitas trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 
A\,
1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A 
\,
\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B 
\,
\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B 
\,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B 
\,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B 
\,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan
 A \tan B} \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan
 A \tan B} \,

 

Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 =
 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 
\cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

[sunting] Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

[sunting] Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 
A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos 
A}{2}} \,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 
A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,

Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 =
 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 
\cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

[sunting] Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

[sunting] Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 
A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos 
A}{2}} \,
Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah

Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.



[sunting] Nilai sinus sudut istimewa

\sin 0^o = 0\,
\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,
\sin 30^o = \frac{1}{2}\,
\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,
\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,
\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,

Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah
 \cos A = {\mbox{b} \over \mbox{c}}
\qquad \cos B = {\mbox{a} \over \mbox{c}}
Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

[sunting] Nilai cosinus sudut istimewa

\cos 0^o = 1\,
\cos 15^o = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,
\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}\,
\cos 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,
\cos 60^o = \frac {1}{2}\,
\cos 75^o = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,
Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).
Berdasarkan segitiga pada ilustrator (di kanan), berdasarkan definisi tangen, di atas maka nilai tangen adalah
 \tan A = {\mbox{a} \over \mbox{b}}
\qquad \tan B = {\mbox{b} \over \mbox{a}}
Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

[sunting] Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus

\tan A = \frac{Sin A}{Cos A}\,

[sunting] Nilai Tangen Sudut Istimewa

  • \tan 0^o = 0\,
  • \tan 15^o = 2 - \sqrt {3},
  • \tan 30^o = \frac{\sqrt {3}}{3}\,
  • \tan 45^o = 1\,
  • \tan 60^o = \sqrt{3}\,
  • \tan 75^o = 2 + \sqrt {3},
  • \tan 90^o = \infty\,

Trigonometrinya.. => Tabel Sudut Istimewa
Sudut-sudut Istimewa Pada Kuadran I
=> Tabel Trigonometrinya
=> Sudut-sudut Istimewa Pada Kuadran I
Sekarang, untuk memahami dan menghafalkan sudut-sudut trigonometri, kita harus hafal dulu tabel sudut-sudut istimewa diatas. Kalo sudah, sekarang kita pahami konsep kuadran I, II, III dan IV
Memahami Konsep Kuadran=> Memahami Konsep Kuadran
Pada kuadran I (0 – 90) , semua nilai sin, tan dan cos bernilai positif —> “semua” Pada kuadran II (90 – 180) ,  hanya sin bernilai positif —> sin dibaca “sindikat” Pada kuadran II (180 – 270) , hanya tan bernilai positif —> tan dibaca “tangan” Pada kuadran II (270 – 360) , hanya cos bernilai positif —>cos dibaca “kosong” Jadi, untuk mengingat gambar diatas hafalkan kalimat : Semua Sindikat Tangannya Kosong contoh 1 : Hitunglah nilai cos 210 ? cos 210 —-> berada dikuadran III —-> pasti negatif, jadi jawaban harus negatif cos 210 = cos (180 +30) = - cos 30 = -1/2√3 jadi nilai cos 210 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga) contoh 2 : Hitunglah nilai sin 300 ? sin 300 —-> berada di kuadran IV —-> pasti negatif, jadi jawaban harus negatif sin 300 = sin (270 + 30) = – cos 30 = 1/2√3 jadi nilai sin 300 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga) KONSEP nya : misalkan diketahui sudut sebesar x JIka kita merubah sudut x menjadi sudut y maka kita dapat menggunakan patokan pada nilai 90, 180, 270, dan 360. Misalnya  sudut 210 = sudut (180 + 30) atau boleh juga sudut 210 = sudut (270 – 60), yang penting di ingat, kita harus merubah sudut tersebut sehingga mengandung sudut-sudut istimewa pada kuadran satu seperti 30, 45, 60, sehingga mudah untuk menghitungnya. Untuk Perubahan Sudut tadi ada hal yang terpenting untuk di pahami JIka kita menggunakan 90 dan 270 maka konsepnya BERUBAH sin berubah menjadi cos cos berubah menjadi sin tan berubah menjadi cotan Jika kita menggunakan 180 dan 360 maka konsepnya TETAP sin tetap menjadi sin cos tetap menjadi cos tan tetap menjadi tan contoh 3 : Hitung nilai sin 150 ? sin 150 —-> berada dikuadran II —-> pasti positif, jadi jawaban harus positif sin 150 = sin (90 + 60) = + cos 60 = +1/2 (positif setengah)  —–> ingat sudut 90 KONSEP “BERUBAH atau sin 150 = sin (180 – 30) = + sin 30 = +1/2 (positif setengah) —–> ingat sudut 180 KONSEP “TETAP sumber : 

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar